میلاد با سعادت رسول اکرم(ص) و امام صادق(ع) مبارک، (کد تخفیف 35%: MiladeRasol)

سبد خرید (0)

تبلیغات

بررسی و آموزش سری فوریه و تابع دیراک

همان طور که در مقاله ی قبلی گفته شد، یک تابع متناوب \(f\left( t \right) \) با دوره ی تناوب T که نسبت به متغیر t پیوسته است، را می توان به صورت جمعی از توابع سینوس و کسینوس بیان کرد به طوری که در ضرایب مناسب ضرب شده باشند. به این جمع، سری فوریه گفته می شود و به صورت زیر نشان داده می شود: 

$$f\left( t \right) =\sum _{ n=-\infty  }^{ +\infty  }{ { c }_{ n }{ e }^{ j\frac { 2\pi n }{ T } t } }$$

به طوری که ضرایب آن به صورت زیر مشخص می شوند: 

$$\quad { c }_{ n }=\frac { 1 }{ T } \int _{ \frac { -T }{ 2 }  }^{ \frac { T }{ 2 }  }{ f\left( t \right) { e }^{ -j\frac { 2\pi n }{ T } t } } dt\quad \quad for\quad n=0,\pm 1,\pm 2,...$$

 این حقیقت که سری فوریه(معادله ی بالایی) از سینوس و کسینوس تشکیل شده است، از فرمول اویلر فهمیده می شود. بعدا در این بخش با سری فوریه کار خواهیم نمود. 


تابع دلتای دیراک

برای مطالعه ی سیستم های خطی و تبدیل فوریه، خوب است با مفاهیم تابع دلتای دیراک آشنا شویم.  

یک تابع دلتای دیراک(که به آنunit impulse یا پالس واحد نیز گفته می شود) که نسبت به متغیر t پیوسته است، با \(\delta (t)\) نشان داده می شود و(در مبدا صفر) به صورت زیر تعریف می شود: 

$$\delta (t)=\begin{cases} \infty \quad \quad if\quad t=0 \\ 0\quad \quad if\quad t\neq 0 \end{cases}$$

توضیح:

در ریاضیات و علوم، تابع دلتای دیراک یک تابع تعمیم‌یافته روی محور اعداد حقیقی است که همه جا مقدار صفر دارد به جز در صفر،  و روی کل محور حقیقی انتگرالی برابر با مقدار 1 دارد. 

تابع دلتا را گاهی به این صورت مورد ملاحظه قرار می دهند: تابعی فرضی که منحنی اش در مرکز مختصات به طور نامحدود بلند است، و به طور نامحدود باریک است و مساحت زیر منحنی آن برابر با 1 است. تصویر زیر این موضوع را به خوبی نشان می دهد: 

 

 

 

این تابع اولین بار توسط فیزیکدان انگلیسی پاول دیراک مطرح شد و به نام او نامگذاری گردید.

این تابع که با حرف یونانی دلتا \(\delta \) نمایش داده می‌شود، در نقطه \(x=0\)  مقداری برابر بی‌نهایت و در دیگر نقاط مقداری برابر با صفر دارد و در نتیجه انتگرال آن نیز روی بازه منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت برابر یک خواهد بود.

 همان طور که گفته شد، انتگرال تابع دلتا از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت، برابر با 1 است: 

$$\int _{ -\infty  }^{ +\infty  }{ \delta \left( t \right) dt=1 } $$

 از لحاظ فیزیکی، اگر متغیر t را زمان در نظر بگیریم، یک تابع دلتا را می توان به صورت یک فلش با برد بی نهایت و طول(مدت زمان) صفر در نظر گرفت به طوری که مساحت آن برابر با 1 است. 

گاهی اوقات به تابع دلتا، خاصیت غربال کردن نیز(sifting) گفته می شود.

از تعریف تابع دلتای دیراک، نتیجه ی زیر حاصل می شود: 

$$\int _{ -\infty  }^{ +\infty  }{ f\left( t \right) \delta \left( t \right) dt=f\left( 0 \right)  } $$

در معادله ی بالا \(f\left( t \right) \) در \(t=0\) پیوسته است. 

خاصیت غربال کردن، مقدار تابع \(f\left( t \right) \) را در یک مبدا پالس دلخواه (impulse) به ما می دهد. مثلا معادله ی بالا، مقدار تابع f در مبدا پالس \(t=0\) را به ما می دهد. 

 در یک معادله ی کلی تر از خاصیت غربال کردن، مبدا پالس ما در نقطه ی دلخواه \({ t }_{ 0 }\) قرار دارد و به صورت \(\delta (t-{ t }_{ 0 })\) مشخص می شود. و خاصیت غربال کردن به صورت زیر تعریف می شود: 

$$\int _{ -\infty  }^{ +\infty  }{ f\left( t \right) \delta (t-{ t }_{ 0 })dt=f\left( { t }_{ 0 } \right)  } $$

 این معادله، مقدار تابع f را در مبدا پالس \({ t }_{ 0 }\) به ما می دهد. 

بعنوان مثال، اگر \(f\left( t \right) =\cos { (t) } \) و مبدا پالس را \(\delta (t-\pi )\) در نظر بگیریم، معادله ی بالا، مقدار \(f\left( \pi  \right) =\cos { (\pi )=-1 } \) را به ما خواهد داد. 

به زودی، قدرت مفهوم غربال سازی را مشاهده خواهید نمود. 


 فرض کنید که x یک متغیر گسسته باشد، در این  صورت مبدا پالس گسسته، در \(\delta (x)\) (در سیستم گسسته)، همان کارِ مبدا پالس در \(\delta (t)\) (در متغیرهای پیوسته) را انجام می دهد و تابع دلتا به صورت زیر تعریف می شود: 

 $$\delta (x)=\begin{cases} 1\quad \quad x=0 \\ 0\quad \quad x\neq 0 \end{cases}$$

 برای این تعریف، می توان سری زیر را در نظر گرفت: 

$$\sum _{ x=-\infty  }^{ +\infty  }{ \delta (x)=1 } $$

 خاصیت غربال گری(تابع دیراک) برای متغیرهای گسسته، به شکل زیر است: 

$$\sum _{ x=-\infty  }^{ +\infty  }{ f\left( x \right) \delta (x)=f\left( 0 \right)  } $$

و یا در حالت کلی، اگر مبدا پالس را \(x={ x }_{ 0 }\) در نظر بگیریم، معادله ی ما به صورت زیر درخواهد آمد: 

 $$\sum _{ x=-\infty  }^{ +\infty  }{ f\left( x \right) \delta (x-{ x }_{ 0 })=f\left( { x }_{ 0 } \right)  } $$

 


 همان طور که قبلا مشاهده کردیم، خاصیت غربالگری(تابع دیراک) به سادگی مقدار یک تابع را در مبدا پالس تولید می کند. عکس زیر، پالس گسسته ی واحد را به صورت یک نمودار نشان می دهد. 

 (تصویر بالا، یک پالس واحد گسسته را نشان می دهد که در نقطه ی \(x={ x }_{ 0 }\) واقع شده است. متغیر x گسسته است و \(\delta \) در همه جا به غیر از \(x={ x }_{ 0 }\) صفر است. ).


 در آخر این بخش، یک معادله ی ضربان ساز(سازنده ی پالس) به نام \({ s }_{ \Delta T }(t)\) معرفی می کنیم، این معادله از جمع بی نهایت پالس واحد \(\Delta T\) تعریف شده است: 

$${ s }_{ \Delta T }(t)=\sum _{ n=-\infty  }^{ +\infty  }{ \delta (t-n\Delta T) } $$

(تصویر بالا یک قطار پالس را نشان می دهد. این پالس ها می توانند پیوسته یا گسسته باشند.)