تخفیف ویژه ماه مبارک رمضان، فرصت یادگیری با 35٪ تخفیف (کد تخفیف: ramazan)

سبد خرید (0)

بررسی و تحلیل یک مسئله ی فیزیکی

فرض کنید که یک شرکت وجود داشته باشد که خدمات سقوط آزاد با طناب انعطاف پذیر را ارائه می دهد و از شما درخواست می کند که سرعت سقوط آزاد اشخاص را به هنگام پرش، بصورت تابعی از زمان، محاسبه کنید. 

این اطلاعات، به این شرکت کمک می کند تا بفهمد که طول طناب انعطاف پذیر و استحکام این طناب، باید برای  اشخاص با وزن متفاوت چقدر باشد. 

شما طبق اطلاعات قبلی خود از فیزیک، می دانید که شتاب، برابر است با نسبت نیرو بر جرم(قانون دوم نیوتن ). 

 بر اساس این قانون، و دانش شما از فیزیک و مکانیک سیالات، شما مدل ریاضی زیر را برای محاسبه ی نرخ تغییرات سرعت نسبت به زمان ارائه می دهید: 

$$\frac { dv }{ dt } =g-\frac { { c }_{ d } }{ m } { v }^{ 2 }$$

 در فرمول بالا، v مشخص کننده ی سرعت عمودی سقوط است و واحد آن \((m/s)\) است. و t مشخص کننده ی زمان است و واحد آن (s) است. g نیز شتاب گرانش را مشخص می کند که تقریبا برابر است با \((9.81m/{ s }^{ 2 })\) . نماد \({ c }_{ d }\) برابر است با یک  ضریب پسار فشرده(lumped drag coefficient) و واحد آن \(kg/m\) است. متغیر m نیز وزن شخص رابه واحد kg مشخص می کند. 

در اینجا به ضریب پسار، ضریب پسار فشرده گفته می شود زیرا این ضریب به عامل هایی همچون شکل بدن شخص و چگالی سیال بستگی دارد. (بخش 1.4 را ببینید). 

 به دلیل اینکه این معادله، یک معادله ی دیفرانسیل است، همان طور که می دانید ممکن است برای حل تحلیلی یا حل دقیق آن، به منظور به دست اوردن v بعنوان تابعی از t، به حساب دیفرانسیل و انتگرال نیاز باشد. اما در ادامه یک روش جایگزین برای حل آن، ارائه خواهیم داد. 

در این روش، با استفاده از کامپیوتر، یک راه حل عددی یا تقریبی را ارائه می دهیم. 

 جدای از اینکه به شما نشان می دهیم که چگونه می توان با استفاده از کامپیوتر، این مسئله ی خاص را حل کرد، هدف کلی ما این است که موارد زیر را به شما نشان دهیم: 

1) اینکه روش های عددی چه هستند.

2) اینکه چگونه می توان از این روش ها در حل مسائل علمی و مهندسی استفاده نمود. 

همچنین در حین انجام این کار، روش استفاده از مدل های ریاضی را به شما نشان خواهیم داد.  


 یک مدل ساده ی ریاضی

به طور کلی، یک مدل ریاضی را می توان به صورت یک فرمول یا معادله تعریف کرد که ویژگی های ضروری یک سیستم یا فرآیند فیزیکی را به زبان ریاضی بیان کند. یک مدل ریاضی را به صورت کلی می توان بصورت یک رابطه ی تابعی، به شکل زیر ارائه داد:

 

(معادله ی 1.1)

مثال

نکته: تابع جبری یا forcing function چیست؟ 

در معادلات دیفرانسیل، به توابعی گفته می شود که تنها تابع زمان یا تنها تابع یک متغیر هستند و به جز آن، دیگر به هیچ متغیری وابسته نیستند. و به ازای هر مقدار t، یک ثابت هستند. 

 

 متغیر وابسته یک مشخصه است که معمولا رفتار یا حالت سیستم را بازتاب می دهد. متغیرهای مستقل نیز بُعد ها را مشخص می کنند مانند زمان  و فاصله.  

پارامترها نیز خاصیت های سیستم یا فرمول را نشان می دهند. توابع جبری نیز تاثیرات خارجی اعمال شده بر سیستم را نشان می دهند. 

 

یک عبارت ریاضی واقعی از معادله ی 1.1 می تواند یک عبارت ساده ی جبری باشد و یا یک مجموعه ی پیچیده از معادلات دیفرانسیل باشد. 

 بعنوان مثال، نیوتن بر اساس مشاهدات خود، قانون دوم حرکت خود را فرمول بندی کرد. این قانون می گوید که نرخ زمانی تغییرات تکانه ی یک جسم برابر است با برآیند نیرو های اعمال شده بر آن. 

بنابراین عبارت ریاضی یا همان مدل قانون دوم نیوتن با معادله ی زیر نشان داده می شود: 

$$F=ma$$

نکته: 

نیوتن در کتاب اصول، قانون دوم حرکت خود را بر اساس مفهوم تکانه خطی بیان کرده‌است:

برآیند همه نیروهای وارد شده بر یک ذره با نرخ تغییرات زمانی تکانه خطی ذره برابر است. بنابراین:

$$F=\frac { dp }{ dt } $$