السلام علیک یا اباعبداللّه الحسین

سبد خرید (0)

عملیات مجموعه ای بر روی تصاویر باینری

در مورفولوژی ریاضی، یک عکس به صورت یک مجموعه از بردارهای مختصات، در فضای اقلیدسی تعریف می شود. فرض کنیم که \({ E }^{ N }\) مجموعه ای از تمام نقاط به صورت \(p=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\) باشد که در فضای N بُعدی اقلیدسی تعریف شده اند. 

 حالا هر مجموعه ی A، متناظر است با یک عکس باینری. هر عکس باینری، یک ترکیب N-بعدی از رنگ های سیاه و سفید است. به طوری که نقطه ی p در عکس باینری ما به رنگ سیاه است اگر و تنها اگر \(p\in A\) باشد، در غیر این صورت p سفید است. 

یک عکس باینری در مجموعه ی \({ E }^{ 2 }\) یک سایه ی سیاه رنگ است. یا به عبارت دیگر مجموعه ای از پیکسل های سیاه رنگ است. یک عکس باینری در فضای \({ E }^{ 3 }\)  یک جسم است. یا به عبارت دیگر، مجموعه ای از محیط و ناحیه های درونی اشیاء است. 

مفهوم یک عکس باینری، با مفهوم پیکسل های سیاه و سفید در سیستم مختصات دکارتی ارتباط دارد. 

 فرض کنیم که A، یک مجموعه (یا عکس باینری) در فضای \({ E }^{ 2 }\) باشد. در صورتی که یک مجموعه حاوی هیچ عضوی نباشد، به آن یک مجموعه ی تهی گفته می شود. یا به عبارت دیگر با علامت \(\phi  \) نشان داده می شود. 

 فرض کنیم که \(a\in A\) یک عنصر به صورت \(a=({ a }_{ 1 },{ a }_{ 2 })\) در مجموعه ی A باشد. در این صورت متمم عکس A، یک عکس باینری دیگر است که عناصر سیاه و سفید آنها معکوس شده باشند( یعنی 1ها بشوند 0 و صفرها بشوند 1). 

متمم A، یا A به توان c، برابر است با a ها به طوری که آن a ها عضو A نباشند. 

 


اگر یک عکس به نام A داشته باشیم، آنگاه منظور از انعکاس عکس A، انعکاس آن نسبت به مبدا می باشد. و به صورت زیر تعریف می شود:

 

 به طوری که در آن، عناصر به صورت \(({ a }_{ 1 },{ a }_{ 2 })\) منفی(قرینه)  شده اند.  یک مثال از انعکاس، در عکس ۲.۱ نشان داده شده است. به طوری که مبدا مختصات در پیکسل وسطی قرار دارد. 

 


اجتماع دو عکس a و b ، یک عکس باینری است که در آن داریم: اگر یک پیکسل در A یا B سیاه باشد، آنگاه در اجتماع این دو، آن پیکسل سیاه خواهد بود.  به مجموعه ی زیر دقت کنید:


اشتراک دو عکس a و b یک عکس باینری است به طوری که : اگر یک پیکسل در هر دوی مجموعه های a و b سیاه باشد، این پیکسل در اشتراک این دو مجموعه نیز سیاه خواهد بود. به مجموعه ی زیر دقت کنید: 


 


با استفاده از قوانین دمورگان، می توان اجتماع را به اشتراک و یا اشتراک را به اجتماع تبدیل نمود. به قوانین زیر توجه کنید:


 

تفاضل دو مجموعه ی A و B ، بصورت A-B یا A\B نشان داده می شود. که به معنای پیکسل های درون مجموعه A است که در مجموعه ی B وجود ندارند. می توانیم تفاضل دو مجموعه را بصورت زیر بیان کنیم: 

 

تعداد اعضای مجموعه ی A ، یا تعداد عناصر مجموعه ی A ، به صورت های A# یا |A| نمایش داده می شود. و یا به صورت (Card(A نشان داده می شود.بعنوان مثال،  اگر مجموعه ی A ، تعداد n عضو (عنصر) متمایز از اعداد طبیعی داشته باشد، تعداد اعضای مجموعه ی A برابر با n است.