بررسی و آموزش سری فوریه و تابع دیراک

همان طور که در مقاله ی قبلی گفته شد، یک تابع متناوب \(f\left( t \right) \) با دوره ی تناوب T که نسبت به متغیر t پیوسته است، را می توان به صورت جمعی از توابع سینوس و کسینوس بیان کرد به طوری که در ضرایب مناسب ضرب شده باشند. به این جمع، سری فوریه گفته می شود و به صورت زیر نشان داده می شود: 

$$f\left( t \right) =\sum _{ n=-\infty  }^{ +\infty  }{ { c }_{ n }{ e }^{ j\frac { 2\pi n }{ T } t } }$$

به طوری که ضرایب آن به صورت زیر مشخص می شوند: 

$$\quad { c }_{ n }=\frac { 1 }{ T } \int _{ \frac { -T }{ 2 }  }^{ \frac { T }{ 2 }  }{ f\left( t \right) { e }^{ -j\frac { 2\pi n }{ T } t } } dt\quad \quad for\quad n=0,\pm 1,\pm 2,...$$

 این حقیقت که سری فوریه(معادله ی بالایی) از سینوس و کسینوس تشکیل شده است، از فرمول اویلر فهمیده می شود. بعدا در این بخش با سری فوریه کار خواهیم نمود. 

تابع دلتای دیراک

برای مطالعه ی سیستم های خطی و تبدیل فوریه، خوب است با مفاهیم تابع دلتای دیراک آشنا شویم.  

یک تابع دلتای دیراک(که به آنunit impulse یا پالس واحد نیز گفته می شود) که نسبت به متغیر t پیوسته است، با \(\delta (t)\) نشان داده می شود و(در مبدا صفر) به صورت زیر تعریف می شود: 

$$\delta (t)=\begin{cases} \infty \quad \quad if\quad t=0 \\ 0\quad \quad if\quad t\neq 0 \end{cases}$$

 همان طور که گفته شد، انتگرال تابع دلتا از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت، برابر با 1 است: 

$$\int _{ -\infty  }^{ +\infty  }{ \delta \left( t \right) dt=1 } $$

 از لحاظ فیزیکی، اگر متغیر t را زمان در نظر بگیریم، یک تابع دلتا را می توان به صورت یک فلش با برد بی نهایت و طول(مدت زمان) صفر در نظر گرفت به طوری که مساحت آن برابر با 1 است. 

گاهی اوقات به تابع دلتا، خاصیت غربال کردن نیز(sifting) گفته می شود.

از تعریف تابع دلتای دیراک، نتیجه ی زیر حاصل می شود: 

$$\int _{ -\infty  }^{ +\infty  }{ f\left( t \right) \delta \left( t \right) dt=f\left( 0 \right)  } $$

در معادله ی بالا \(f\left( t \right) \) در \(t=0\) پیوسته است. 

خاصیت غربال کردن، مقدار تابع \(f\left( t \right) \) را در یک مبدا پالس دلخواه (impulse) به ما می دهد. مثلا معادله ی بالا، مقدار تابع f در مبدا پالس \(t=0\) را به ما می دهد. 

 در یک معادله ی کلی تر از خاصیت غربال کردن، مبدا پالس ما در نقطه ی دلخواه \({ t }_{ 0 }\) قرار دارد و به صورت \(\delta (t-{ t }_{ 0 })\) مشخص می شود. و خاصیت غربال کردن به صورت زیر تعریف می شود: 

$$\int _{ -\infty  }^{ +\infty  }{ f\left( t \right) \delta (t-{ t }_{ 0 })dt=f\left( { t }_{ 0 } \right)  } $$

 این معادله، مقدار تابع f را در مبدا پالس \({ t }_{ 0 }\) به ما می دهد. 

بعنوان مثال، اگر \(f\left( t \right) =\cos { (t) } \) و مبدا پالس را \(\delta (t-\pi )\) در نظر بگیریم، معادله ی بالا، مقدار \(f\left( \pi  \right) =\cos { (\pi )=-1 } \) را به ما خواهد داد. 

به زودی، قدرت مفهوم غربال سازی را مشاهده خواهید نمود. 

 فرض کنید که x یک متغیر گسسته باشد، در این  صورت مبدا پالس گسسته، در \(\delta (x)\) (در سیستم گسسته)، همان کارِ مبدا پالس در \(\delta (t)\) (در متغیرهای پیوسته) را انجام می دهد و تابع دلتا به صورت زیر تعریف می شود: 

 $$\delta (x)=\begin{cases} 1\quad \quad x=0 \\ 0\quad \quad x\neq 0 \end{cases}$$

 برای این تعریف، می توان سری زیر را در نظر گرفت: 

$$\sum _{ x=-\infty  }^{ +\infty  }{ \delta (x)=1 } $$

 خاصیت غربال گری(تابع دیراک) برای متغیرهای گسسته، به شکل زیر است: 

$$\sum _{ x=-\infty  }^{ +\infty  }{ f\left( x \right) \delta (x)=f\left( 0 \right)  } $$

و یا در حالت کلی، اگر مبدا پالس را \(x={ x }_{ 0 }\) در نظر بگیریم، معادله ی ما به صورت زیر درخواهد آمد: 

 $$\sum _{ x=-\infty  }^{ +\infty  }{ f\left( x \right) \delta (x-{ x }_{ 0 })=f\left( { x }_{ 0 } \right)  } $$

 همان طور که قبلا مشاهده کردیم، خاصیت غربالگری(تابع دیراک) به سادگی مقدار یک تابع را در مبدا پالس تولید می کند. عکس زیر، پالس گسسته ی واحد را به صورت یک نمودار نشان می دهد. 

 (تصویر بالا، یک پالس واحد گسسته را نشان می دهد که در نقطه ی \(x={ x }_{ 0 }\) واقع شده است. متغیر x گسسته است و \(\delta \) در همه جا به غیر از \(x={ x }_{ 0 }\) صفر است. ).

 در آخر این بخش، یک معادله ی ضربان ساز(سازنده ی پالس) به نام \({ s }_{ \Delta T }(t)\) معرفی می کنیم، این معادله از جمع بی نهایت پالس واحد \(\Delta T\) تعریف شده است: 

$${ s }_{ \Delta T }(t)=\sum _{ n=-\infty  }^{ +\infty  }{ \delta (t-n\Delta T) } $$

(تصویر بالا یک قطار پالس را نشان می دهد. این پالس ها می توانند پیوسته یا گسسته باشند.)

• قبلی
• بعدی